ToDo :

(Roh-)Entwurf :

Beispiele fuer "Es gibt ..." ?

1. "Es gibt eine natuerliche Zahl, deren Quadrat gleich 4 ist"
2. "Es gibt Engel"
3. "Es gibt auf einer Bahn um unsere Sonne RUSSELLs 'himmlische Teekanne'"
4. "Es gibt eine natuerliche Zahl groesser als 2, deren Quadrat gleich 4 ist"

Wie `wahr` (`zutreffend`, `richtig`, ...) sind diese Aussagen ?

1. Diese Aussage ist wahr; als Beweis kann ich diese Zahl tatsaechlich vorzeigen:
   '2' im (zB) Dezimal-System bzw '10' im Dual-System.
2. Einen Engel tatsaechlich vorzuzeigen duerfte schwierig sein. Statt zu sagen, diese Aussage sei wahr, formulieren wir besser: wir halten sie fuer wahr, wir glauben an die Existenz von Engeln. Jedem ist es freigestellt, nicht daran zu glauben.
3. Diese Aussage fuer wahr zu halten ist nicht unbedingt klug. Aber ist sie unwahr? Man beweise, dass keine Teekanne um die Sonne kreist!
   (Und vielleicht setzt ein Spassvogel wirklich einmal bei einer Mars-Mission eine Teekanne auf eine Sonnen-Umlaufbahn aus)
4. Diese Aussage ist sicher falsch:
   3² ist um 5 zu gross, 4² schon um 12; und mit jeder weiteren natuerlichen Zahl wird der Fehler selbstverstaendlich noch groesser.

1. sicher wahr sind
2. vielleicht wahr sind, vielleicht auch nicht:
   wir koennen - wenn wir wollen - daran glauben
3. vielleicht wahr sind, aber wir glauben wohl eher nicht daran
4. sicher nicht wahr sind

Was bedeutet also "Es gibt ..." ?
Die Aussage "Es gibt die Sache (das Ding, ...) namens XYZ"
- oder "Die Sache namens XYZ existiert" - darf nur dann als sicher wahr (Fall 1) betrachtet werden, wenn ich XYZ tatsaechlich vorzeigen kann.
Kann ich das nicht, liegt einer der Faelle 2-4 vor.

Kann ich gar beweisen (Fall 4), dass ich XYZ prinzipiell nicht vorzeigen kann, dann

• ist die Aussage "Es gibt XYZ" / "XYZ existiert" sicher nicht wahr
• somit die Aussage "Es gibt XYZ nicht" / "XYZ existiert nicht" sicher wahr

Schreiben wir `sqrt(x)` fuer eine Zahl, deren Quadrat gleich x ist - also die `QuadratWurzel aus x`.
Also ist zB die Aussage "sqrt(4) existiert im Bereich der ganzen Zahlen" wahr:
auf Anforderung kann ich nicht nur +2, sondern auch -2 vorzeigen.

Bei `sqrt(2)` ist natuerlich bekannt, dass keine natuerliche Zahl und keine ganze Zahl und keine rationale Zahl zum Quadrat erhoben gleich 2 sein kann.
Solches war ja der Anstoss fuer die Erweiterung des Koerpers der rationalen Zahlen zu dem der reellen Zahlen - zB mittels DEDEKINDscher Schnitte.
Somit haben wir die Aussage "sqrt(2) existiert im Bereich der reellen Zahlen".

Nur: ist sie auch sicher wahr (im Sinne von `Fall 1`) ?
`... tatsaechlich vorzeigen koennen ...` :
1.4 ist zu klein (1.96) und 1.5 zu gross (2.25)
1.41 ist zu klein (1.9881) und 1.42 zu gross (2.0164)
1.414 ist zu klein (1.999396) und 1.415 zu gross (2.002225)
usw
... eine Intervall-Schachtelung.

Das Problem ist :

"sqrt(2) = 1.414213..."
• Wir haben `sqrt(2)` hier nicht genau angegeben
• Wir koennten es genauer angeben, aber genau waere es noch immer nicht
• Wir koennten (mit etwas Geduld) Millionen Jahre rechnen, aber genau waere es noch immer nicht
• Wir koennen eine irrationale Zahl wie sqrt(2) prinzipiell nicht mit endlich vielen Ziffern genau angeben
• Zu keinem Zeitpunkt wird eine Irrationalzahl je genau angebbar sein

Wir koennen also Irrationalzahlen wie sqrt(2) prinzipiell nicht anschreiben/vorzeigen/darstellen.
Dies aber ist der obige `Fall 4`.
Wenn ich aber etwas prinzipiell nicht vorzeigen kann, dann darf ich auch nicht dessen Existenz behaupten.
Bleibt:

• "Niemand kann jemals eine Zahl, deren Quadrat 2 ist, angeben"
• "Eine Zahl, deren Quadrat 2 ist, existiert nicht"

Die Situation entbehrt nicht einer gewissen Pikanterie:
Naturwissenschaftler/Mathematiker - wer waere ich denn, dass ich mich von der Schelte ausschliessen duerfte?! - tun sich was zu gute darauf, dass sie nur von praezise fassbaren Dingen reden: Engel, Teufel, Aberglauben, ... bleiben aussen vor in unserer heilen und geordneten Welt.
Aber waehrend Aussagen wie "Engel existieren" / "Er hat einen Engel gesehen" glaubbar und nicht widerlegbar sind (`Fall 2`)
waere eine Aussage wie "sqrt(2) existiert" / "Er hat sqrt(2) berechnet" sicher falsch und widerlegbar.
("Er hat sqrt(2) auf soundsoviele Stellen berechnet" geht natuerlich auch nicht: das Ergebnis solch einer `Berechnung` waere eben NICHT sqrt(2), sondern eine rationale Naeherung)

Fassen wir zusammen :

• Die Theologie spricht gar nicht selten ueber Dinge, die existieren KOENNTEN.
• Die Mathematik verwendet gar nicht selten Dinge, die SICHER NICHT existieren koennen

Und doch koennte der mathematische Suendenfall leicht vermieden werden :
in einer `endlichen Mathematik` - einer ohne 'unendlich gross', 'unendlich klein', '...' - waere kein Problem mit der "Existenz nicht existieren koennender Dinge" gegeben.
(Man haette nur noch "kleine Fische" wie in sich moeglicherweise widerspruechliche Axiomensysteme)

Natuerlich haben Sie's schon bemerkt :
die Menge der natuerlichen Zahlen N = { 1, 2, 3, ... }
In einer `endlichen Mathematik` billigen wir Dingen nur dann eine `Existenz` zu, wenn sie zumindest im Prinzip angebbar sind - also mit endlich vielen Schritten.
Die Schlussfolgerung kann nur lauten: "N existiert nicht"
Natuerlich existieren `natuerliche Zahlen`: 1 und 2 und 3 und viele andere.
Wieviele? Unendlich viele? Hier sieht man wohl sehr deutlich, dass man mit unkritisch gebrauchtem "Es gibt" bzw. "Es existiert" rasch in Schwierigkeiten kommt:
Zu jedem Zeitpunkt werden nur endlich viele natuerliche Zahlen gedacht/gebraucht/verwendet worden sein.
Zu jeder dieser natuerlichen Zahlen koennen selbstverstaendlich groessere konstruiert werden - aber zu jedem Zeitpunkt werden es bisher nur endlich viele gewesen sein.

Was also soll's ?
Selbstverstaendlich existieren `natuerliche Zahlen`, aber die (unendliche) `Menge der natuerlichen Zahlen` kann nicht existieren.
Die Loesung ist einfach: lange, lange konnte man mathematisch denken OHNE den Begriff der 'Menge' zu verwenden. Also kommt es nur auf die Eigenschaften an, welche etwas zum Element eine 'Menge' werden lassen.
Statt "x elem N" drueckt zB "nat(x)" denselben Sachverhalt - "x ist eine natuerliche Zahl" / "x hat die Eigenschaft, eine natuerliche Zahl zu sein" - aus; nun aber ohne dieses Symbol einer 'unendlichen Menge'

Die Zielsetzung ist somit :